三角函数图像题

nkc3g4

已知定义在区间[-π,π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称，当x属于[-π/6,2π/3]时，函数f（x）=Asin（ ωx+φ ）（A＞0， ω＞0，-π/2＜φ ＜π/2),其图像如图所示。


（1）求函数y=f（x）在[-π,2π/3]的表达式；
（2）求方程f（x）=（√2）/2的解

Hashimoto

解：由图像可知，A=1，所以函数解析式为：f（x）=sin（ ωx+φ ），根据图像我们可以看到六分之Pi到三分之2Pi是四分之一个周期，那么用（2/3）Pi-（1/6）Pi=Pi／2，这是四分之一个周期，T／4=Pi／2，所以周期T=2Pi，那么系数欧米茄ω=2Pi／T=2Pi／2Pi，因为ω＞0，所以可得系数欧米茄ω=1，所以函数解析式为：f（x）=sin（ x+φ ），这个fai只能带一个坐标去求了，建议带最高点或是最低点坐标，否则可能会有多解的情况出现，那我们就带入最高点，（Pi／6，1），所以sin（Pi／6+fai）=1，那Pi／6+fai=Pi／2+2kPi（必须是Pi／2+2kPi，必须加2kPi，避免出现多解的情况），所以解得fai=Pi／3+2kPi，因为fai属于（-Pi／2，Pi／2）（-Pi／2到Pi／2的开区间），所以k=0，fai=Pi／3，所以函数解析式为f（x）=sin（ x+Pi／3 ），第一问至此完成。

Hashimoto

（2）解：由（1）得f（x）=sin（ x+Pi／3 ），由已知得sin（x+Pi／3）=Sqrt[2]／2，所以x+Pi／3=Pi／4+2kPi或x+Pi／3=3Pi／4+2kPi，解得x=-Pi／12+2kPi或x=2Pi/3+2kPi，因为x属于[-π/6,2π/3]，k=0，x=-Pi／12或x=2Pi／3，第二问至此完成，本题完成。